Казнь врасплох и модальная логика

У Гарднера в «Математических досугах» есть статья «Казнь врасплох и связанный с ней логический парадокс». Вот формулировка этого парадокса:
Осужденного бросили в тюрьму в воскресенье.
— Тебя повесят в полдень, — сказал ему судья, — в один из семи дней на следующей неделе. Но в какой именно день это должно произойти, ты узнаешь лишь утром в день казни.
Судья славился тем, что всегда держал свое слово. Осужденный вернулся в камеру в сопровождении адвоката. Как только их оставили вдвоем, защитник удовлетворенно ухмыльнулся.
— Неужели не понятно? — воскликнул он. — Ведь приговор судьи нельзя привести в исполнение!
— Как? Ничего не понимаю,— пробормотал узник.
— Сейчас объясню. Очевидно, что в следующее воскресенье тебя не могут повесить: воскресенье — последний день недели, и в субботу днем ты бы уже знал наверняка, что тебя повесят в воскресенье. Таким образом, о дне казни тебе бы стало известно до официального уведомления в воскресенье утром, следовательно, приказ судьи был бы нарушен.
— Верно, — согласился заключенный.
— Итак, воскресенье, безусловно, отпадает, — продолжал адвокат, — поэтому суббота остается последним днем, когда тебя могут повесить. Однако и в субботу повесить тебя нельзя, ибо после пятницы осталось бы всего два дня — суббота и воскресенье. Поскольку воскресенье не может быть днем казни, повесить тебя должны лишь в субботу. Но раз тебе об этом станет известно еще в пятницу, то приказ судьи опять будет нарушен. Следовательно, суббота тоже отпадает. Итак, последний день, когда тебя еще могли бы казнить, это пятница. Однако пятница тоже не годится, потому что оставшись в четверг живым, ты сразу поймешь, что казнь должна состояться в пятницу.
— Все понятно! — воскликнул заключенный, воспрянув духом. — Точно так же я могу исключить четверг, среду и вторник. Остается только завтрашний день. Но завтра меня наверняка не повесят, потому что я знаю об этом уже сегодня!

Приговор кажется противоречивым и преступника не могут казнить. Вместе с тем когда в среду к нему войдет палач и поведет на казнь, то для узника это будет полной неожиданностью – как же, ведь он «доказал», что исполнить приговор нельзя! Похоже, мы слишком поспешно сделали вывод о противоречивости приговора. На самом деле она сильно зависит от знаний узника, знает ли он о конкретном сроке казни, или нет. Парадокс заключается в том, что как только узник пришел к выводу о противоречивости приговора, то это противоречие проникло в его знания и он теперь не обладает вообще никакими знаниями по этому вопросу – из противоречия следует все, что угодно, т.е. он теперь как бы «знает» все, и при этом уже не может отличать истину от лжи. Правильнее было бы признать его сумашедшим и по этой причине не казнить, но это уже за пределами парадокса.
Итак, обсуждение этого парадокса идет у Гарднера по пути проблематизации знания узника, решение видится в том, что узник действительно не может знать. Вот предельно заостренное выражение этого подхода из заключительной части статьи:
Суть нашего парадокса станет особенно ясной, если воспользоваться одной идеей, высказанной в статье Скривена. Предположим, что муж говорит своей жене:
"Я сделаю тебе ко дню рождения сюрприз. Ты ни за что не догадаешься, какой подарок тебя ожидает. Это тот самый золотой браслет, который ты видела на прошлой неделе в витрине ювелирного магазина".
Что же теперь делать его несчастной жене? С одной стороны, она знает, что муж никогда не лжет и всегда выполняет свои обещания. Однако если он все же подарит ей золотой браслет, то это уже не будет сюрпризом и тогда обещание окажется невыполненным, то есть муж сказал ей неправду. А если это так, то к каким выводам может она прийти, рассуждая логически? Не исключено, что муж сдержит слово и подарит ей браслет, нарушив обещание удивить ее неожиданным подарком. С другой стороны, он может сдержать свое слово, что подарок будет неожиданным, но нарушить второе обещание и вместо золотого браслета подарит ей, например, новый пылесос. Поскольку муж своим утверждением сам себе противоречит, у нее нет никаких разумных оснований предпочесть одну из этих возможностей другой, следовательно, у нее нет оснований надеяться на золотой браслет. Нетрудно догадаться, что будет дальше: когда в день рождения муж преподнесет ей браслет, подарок мужа окажется для нее приятным сюрпризом, поскольку его нельзя предсказать заранее никакими логическими рассуждениями.

А вот это рассуждение меня уже совершенно не устраивает. Может быть, где-то и существуют женщины, которые задумаются о логике, когда им пообещали золотой браслет, но скорее эта жена не обратит внимания на слово «сюрприз» и запомнит только «золотой браслет», а когда получит его в подарок, то воспримет его не как сюрприз, а как выполнение обещания.
Это рассуждение не о пресловутой «женской логике», оно легко переносится на узника из парадокса. Если он доживет до утра воскресенья, то он действительно будет знать, что его повесят в воскресенье. Вместе с тем в начале недели он действительно не может знать, когда его казнят. Где-то на пути к концу недели знание откуда-то появляется, хотя по логике – не должно бы. Решение парадокса, приведенное в статье Гаднера, молчаливо предполагает две вещи: во-первых, знание лишено противоречий, даже скрытых; во-вторых, узник додумывает каждую мысль до логического конца. То есть здесь «знание» практически означает «математическое знание», непротиворечивую конструкцию. Думается, что это слишком далеко от психологической реальности, чтобы быть интересным.
Мы не обязаны додумывать мысль до конца, более того – нужно специальное (и немалое) усилие, чтобы ее додумать. Мысленная картина человека содержит много потенциальных противоречий – достаточно рассмотреть мышление в рамках определенной науки. Ньютоновская механика и фрейдовская психология предполагают детерминизм (чуть разный, но все же); вместе с тем тот же ученый уже как человек знает, что в жизни он обладает свободой воли. Можно сказать, что ученый работает в рамках модели и потому противоречия на самом деле нет, но это уже позднейшая рационализация. Человек изначально умеет мыслить потенциально противоречиво, не впадая при этом в противоречие на практике, умеет разделить у себя в мозгу тезис и антитезис по разным полочкам, чтобы они не встречались. Потому-то и не является убедительным решение парадокса казни врасплох путем проблематизации знания. Любое знание можно проблематизировать, достаточно рассмотреть его в слишком широких рамках.
Также неубедительно решение парадокса указанием на противоречивость и потому – незаконность приговора. Законы не зря предполагают процедуры обжалования приговоров, т.е. молчаливо предполагается, что иногда вынесенное по закону решение окажется неверным. Законы так же противоречивы, как и знания, и даже больше – жизнь неформализуема. Частный случай несправедливого приговора отнюдь не отменяет закон (что бы осталось тогда от законодательства?), поэтому стоит проверять не противоречивость закона или, в нашем случае, приговора вообще, а в частном случае – палач входит в камеру, и если узник знал, что его казнят сегодня, то его казнить нельзя; в ином случае казнь свершится.
К сожалению, способа проверить, знал ли узник конкретный день казни, не существует – разумеется, если признавать за знание его внутреннюю уверенность, которая может быть основана на чем-то внерациональном, хотя бы на вещем сне. Такое рассмотрение «знания» вполне корректно с точки зрения психологии, но бесполезно при рассмотрении логического парадокса. Поэтому рассмотрим только обоснованное знание, то, которое логически следует из имеющейся у узника информации. Такое знание уже можно четко определить, и даже формализовать с помощью модальной логики.
Итак, будем трактовать «знание» узника как некий логический вывод, как последовательность высказываний, каждое из которых либо аксиома (их выпишем позже), либо получается из ранее выписанных утверждений по правилам вывода (обычное исчисление высказываний, кванторы нам не понадобятся). Все тавтологии, т.е. тождественно истинные формулы классического исчисления высказываний мы считаем логическими аксиомами (к примеру, к ним относятся (А или не-А), A=>A, не-(А и не-А), А=>(В=>А) и т.п.).
Теперь введем язык:
* Дни у нас будут обозначаться их номером от 1 до 7, для этого используем малые латинские буквы i,j...
* Введем предикат КАЗНЬ(i), обозначающий «Казнь состоится в день номер i». К примеру, КАЗНЬ(2) обозначает «Казнь состоится во вторник».
* Предикат ЖИВ(i) означает, что в день номер i приговоренный не был казнен, он пережил этот день. Этот предикат нам нужен для добавления новых аксиом к знанию узника в каждый следующий день, который он смог пережить.
* Предикат ЗНАЮ(А) обозначает, что утверждение А содержится в предшествующем куске его цепочки вывода - его знаний. Собственно, это и есть элемент модальной логики – областью определения этого предиката являются высказывания.
А теперь выпишем аксиомы:
1. АКСИОМА ЗНАНИЯ: А=>ЗНАЮ(А) – если узник что-то знает, то он может использовать сам факт этого знания в дальнейших рассуждениях; «если ему известно А, что он знает, что ему известно А».
2. АКСИОМА ЖИЗНИ: ЖИВ(i)=>не-КАЗНЬ(j) для j не больших i.
3. АКСИОМА КАЗНИ: (КАЗНЬ(1) или КАЗНЬ(2) или ... КАЗНЬ(7)) – приговоренного должны казнить на этой неделе.
4. АКСИОМА ПРИГОВОРА: ЗНАЮ(КАЗНЬ(i))=>не-КАЗНЬ(i) – если приговоренный знает о своей казни в этот день, то его нельзя казнить.
5. АКСИОМА ФАКТА: Если узник фактически пережил день номер i, то в систему аксиом добавляется аксиома ЖИВ(i). Это изменение аксиом учитывает появление у узника новой информации.
И последнее – процедура проверки. Важный момент: мы допускаем потенциальную противоречивость знания узника, но оно не должно явно содержать противоречия. Условимся считать явным противоречием наличие в его «знаниях» (т.е. в цепочке высказываний) одновременно какого-либо утверждения и его отрицания, А и не-А. Такие «знания», чего бы они еще ни содержали, настоящими знаниями не считаются и они не противоречат исполнению приговора. Вместе с тем, знания могут быть противоречивы потенциально, т.е. они могут содержать три высказывания: А, В и (В=>не-А). Понятно, что из второго и третьего следует не-А, но этот шаг не сделан и «знания» не содержат явного противоречия. Проверка выполнимости приговора будет осуществляться не «в общем», а «в частном», т.е. следующим образом: в день казни в камеру входит палач в сопровождении эксперта-логика. Узник дает им написанные на листке свои «знания» – тот самый логический вывод. Логик проверяет три вещи:
а) Содержат ли «знания» явное противоречие. Если да, то казнить можно;
б) Являются ли «знания» правильным выводом, т.е. соблюдены ли законы вывода. Если нет, то казнить можно;
в) Содержат ли знания утверждение КАЗНЬ(i) для того конкретного i, в который выполняется проверка. К примеру, во вторник требуется наличие утверждения КАЗНЬ(2). Если такое утверждение есть, то казнить нельзя.

Думаю, описанная процедура вполне соответствует смыслу приговора. Задача узника на практике показать неисполнимость приговора. Самое интересное, что эта задача разрешима.
Для начала докажем, что задача разрешима в субботу:
1. ЖИВ(6) – аксиома факта
2. ЖИВ(6)=>не-КАЗНЬ(6) – аксиома жизни
3. не-КАЗНЬ(6) – modus ponens
(аналогично выводятся не-КАЗНЬ(1) ... не-КАЗНЬ(5))
4. КАЗНЬ(1) или КАЗНЬ(2) или ... КАЗНЬ(7) – аксиома казни
5. КАЗНЬ(7) – я опускаю здесь операции с высказываниями, не использующие введенных нами аксиом

Итак, этот вывод логичен, не содержит явного противоречия и содержит утверждение о казни в воскресенье. Так что по правилам казнить нельзя. Вместе с тем этот вывод противоречив - мы можем продолжить его такой цепочкой:
6. КАЗНЬ(7)=>ЗНАЮ(КАЗНЬ(7)) – аксиома знания
7. ЗНАЮ(КАЗНЬ(7)) – modus ponens
8. ЗНАЮ(КАЗНЬ(7))=>не-КАЗНЬ(7) – аксиома приговора
9. не-КАЗНЬ(7) – modus ponens
Теперь этот вывод уже содержит явное противоречие – пару 5. и 9., и потому не защищает от казни в воскресенье. Есть что-то глубоко верное в том, что от казни спасется только тот, кто страдает в ее ожидании; слишком умный, додумавший до конца, уже ни в чем не уверен, потому как противоречие не в приговоре, а в его знаниях.

А как же ему думать в субботу? Повторим те же рассуждения, но в предположении (для упрощения я ограничусь двумя днями – 6 и 7):
1. КАЗНЬ(6) или КАЗНЬ(7) – аксиома казни
2. не-КАЗНЬ(6)=>(КАЗНЬ(6) или КАЗНЬ(7)) – на аксиому навесили произвольное условие
3. не-КАЗНЬ(6)=>КАЗНЬ(7) – убрали заведомо неверное следствие
4. не-КАЗНЬ(6)=>ЗНАЮ(КАЗНЬ(7)) – кажется, все логично?
5. ЗНАЮ(КАЗНЬ(7))=>не-КАЗНЬ(7) – аксиома приговора
6. не-КАЗНЬ(6)=>(ЗНАЮ(КАЗНЬ(7))=>не-КАЗНЬ(7)) – навесили условие
7. не-КАЗНЬ(6)=>не-КАЗНЬ(7)
8. КАЗНЬ(6) – из 3. и 7., если выводится противоречие, то посылка не верна

Узник и в субботу может доказать, что он знает, что его казнят в субботу! Тем самым мы на практике доказали противоречивость приговора, но только за счет того, что позволили узнику в своих рассуждениях иметь частичку противоречия. Если же узник захочет доказать эту противоречивость теоретически, т.е. на словах и заранее, то палач восторжествует, поскольку знание о противоречивости приговора возможно только через явное противоречие в сознании узника, а это противоречие как раз и будет отрицать его конкретное знание о сроке казни.

Надеюсь, читатели заметили, что в последнем формальном выводе содержится ошибка: переход от 3. к 4. не обоснован. Если к 3. применить аксиому знания, то получим высказывание ЗНАЮ(не-КАЗНЬ(6)=>КАЗНЬ(7)), что бесполезно для дальнейших действий. То есть узник не избегнет казни в субботу.
Но является ли эта ошибка ошибкой рассуждений узника, или это ошибка модели, ошибка формализации концепции знания? Фактически, введя аксиому знания, мы говорим, что если узник что-то знает, то он знает, что он это знает – звучит тавтологично, но на самом деле это означает, что в нашей модели нет никакого подсознания (чего мы и хотели), все знание очевидно узнику. Вместе с тем наша формализация не позволяет выразить условное знание – «если произойдет А, то узник будет знать В», а ведь именно эти рассуждения содержатся в исходном парадоксе: «если узник доживет до вечера субботы, то он будет знать, что его казнят в воскресенье». Поэтому в нашу аксиоматику надо добавить еще одну аксиому:
4а. АКСИОМА УСЛОВНОГО ЗНАНИЯ: (А=>В)=>(А=>ЗНАЮ(В)) – «если наступит условие А, то узник будет знать В».
С этой аксиомой уже все формальные выводы стали законными и узник может в любой день избегнуть казни. Парадокс разрешился однозначно.

На этом мы оставим модальную логику и осмыслим, а является ли написанное выше решением парадокса казни врасплох? Да, мы построили некую формализацию ситуации и концепции знания, в этой формальной системе мы построили некое формальное рассуждение – а без формальных логических выводов нам было бы очень трудно, даже невозможно отличить потенциально противоречивое знание от явно противоречивого – но за счет чего разрешился парадокс? Иными словами, является ли использованная модель адекватной?
Для начала внимательно посмотрим на первый формальный вывод, сделанный узником в субботу. Мы видим, что узник в нем не использовал аксиому знания, т.е. не рефлексировал по поводу своего знания. Фактически он игнорировал ту часть приговора, где говорится о неожиданности казни. Можно также сказать, что узник обошелся более простой моделью ситуации, в которой противоречие просто невозможно. Интересно, что если все же использовать аксиому знания, то ее применение ведет к явному противоречию в знаниях узника. Не удивительно, что мы подсознательно отказываемся от такой модели в пользу более простой, и потому парадокса неожиданной казни в воскресенье просто не существует – казнь будет вполне ожидаемой.
Но уже для второго формального вывода, сделанного узником в пятницу, требуется аксиома условного знания. Заметим, что это более сильное утверждение, чем просто аксиома знания, последнюю можно просто вывести из первой:
1. (А=>В)=>(А=>ЗНАЮ(В)) – аксиома условного знания
2. (А=>А)=>(А=>ЗНАЮ(А)) – вместо В подставили А
3. А=>А – тавтология
4. А=>ЗНАЮ(А) – из 2. и 3. по modus ponens получили аксиому знания
Если с логической точки зрения аксиома знания является просто лишней, то с психологической точки зрения эти две аксиомы выражают разные способы мышления: аксиома условного знания отражает размышления гипотетические, относящиеся к возможному будущему, в то время как аксиома знания отражает анализ существующей ситуации. Поэтому можно рассмотреть второй формальный вывод, использующий только аксиому условного знания, как вполне адекватную модель рассуждений узника. Аксиома условного знания, равно как и аксиома приговора, применены ровно по одному разу, так что рассуждение получается «короткое» и потому вполне убедительное. Слабый, конечно, аргумент – что бы я думал на месте узника – но в пятницу я был бы уверен, что казнь назначена на субботу именно потому, что на воскресенье она назначена быть не может, поскольку должна быть неожиданной. Самокритики этого рассуждения и применения к нему аксиомы знания с повторным использованием аксиомы приговора не возникает – это слишком искусственное удлинение мысли, ненужное додумывание ее до конца.
Убедительность пятничного знания меньше, чем субботнего, но все же достаточно велика. А вот если рассмотреть четверговое знание, то оно окажется практически неубедительным. В цепочке формального вывода нам придется дважды использовать аксиому условного знания и аксиому приговора в очень похожих формулах, а это уже приглашение продолжить цепочку рассуждений дальше и следующим шагом придти к противоречию. Когда совершены два одинаковых шага, требуется специальное усилие не для того, чтобы сделать третий шаг, а для того, чтобы отказаться от него. В начале этой статьи говорится о том, что человек не обязан додумывать мысль до логического конца, но это связано с возрастающей трудностью такого додумывания; здесь же парадоксальная ситуация, когда остановиться сложнее, чем продолжать. А поскольку это движение происходит в мысли, то нет возможности отступить на шаг и сделать вид, что до противоречия не дошел. Это как солдат в предрассветной тьме спрятался за громадный дуб и радуется, что в утреннем бою он окажется хорошо защищенным от вражеских пуль и шрапнели; но вот светает и солдат видит, что он в темноте принял за дуб большой куст, сквозь который пули пролетят беспрепятственно. И как ни пытайся солдат, дуба в кусте он уже не увидит. Так и здесь – если пришел к противоречию, то уверенности в знаниях уже неоткуда появиться, она уже исчезла. Наша формальная модель уже перестала хоть сколько-нибудь адекватно описывать реальность.

Для последнего и предпоследнего дней есть уверенность в том, что казнь назначена именно на этот день, а для всех предшествующих дней ее нет. Это очень напоминает счет у архаичных народов: «один, два, много». Эта параллель глубже, чем кажется на первый взгляд. Архаичный человек не интересовался числами больше двух, для него они все были на одно лицо. Современный человек различает гораздо большие числа – до десятка с первого взгляда, а пересчитать и поименовать может практически любые количества; «раз, два, много» трансформировалось в то, что любое количество, начиная с трех, мыслится как элемент в бесконечном ряду. Принцип математической индукции использует единицу как основание индукции и пару – как шаг индукции, а из этого делает вывод о «многом» – обо всех числах сразу. По аналогии для неполной индукции надо хотя бы три элемента – один служит основанием индукции, а все три элемента дают два повторяющихся перехода (вы замечали, что повторение чего-либо три раза подряд гораздо убедительнее тоже тройного повторения, но вразброс?). Т.е. три есть минимальное количество для того, чтобы вообще заметить повторение шага – вот во что преобразился архаичный счет «раз, два, много».
Если же теперь с этой точки зрения взглянуть на парадокс казни врасплох, то получается, что в начале недели узник видит «психологически бесконечное» число возможных сроков казни, а потом эту «бесконечность» адвокат начинает исчерпывать «с конца», с малых, «психологически конечных» чисел. Именно это принципиальное психологическое различие больших и малых чисел и рождает парадокс неожиданной казни.

8-12 октября 2007 г.