Тимур Василенко (timur0) wrote,
Тимур Василенко
timur0

Categories:

Звезды.Точки

Звезды воплощают на практике идею математической точки - лишенного размеров, но явно видимого объекта. Угловой размер звезд измерить трудно: один из способов - измерить время, за которое луна затмевает звезду. Это время составляет порядка тысячных долей секунды, так что до XX века человек смотрел на звезды как на безразмерные точки в самом прямом смысле - не было у него способов увидеть их протяженными. Если задуматься, то это очень необычно - увидеть математический объект просто глазами, увидеть именно таким, какой он есть; к примеру, увидеть прямую уже не получится - даже узкий луч света имеет некоторую толщину (я уже не говорю о конечности видимой картинки), так что до математической прямой видимый объект надо домысливать. Не будь звезд и являемых ими образцов точек, математика была бы иной.

А какой могла бы быть математика, не будь у людей перед глазами звезд? Трудно говорить о геометрии без понятия точки, и была бы та область знания вообще математикой - не будем спорить о терминах; интереснее понять, как может быть устроено такое знание.

Важнейшей особенностью точки в математике является то, что любой объект из них состоит. Конечно, эта фраза крыто несет в себе теорию множеств - концепцию поздно оформившуюся, в XIX веке, - но имплицитно существующую с древних греков, с апорий Зенона. Две прямые пересекаются в точке - прямую (и линию вообще) можно представить как совокупность точек: апория "стрела". Эта апория утверждает, что линия не просто совокупность точек, время не просто совокупность мгновений - но показательно, что требуется увидеть что-то за совокупностью точек, она как бы очевидна.

Важным частным случаем линии является траектория звезды на небе - осознание того, что эта траектория представляет собой окружность, ось которой проецируется на направление "север-юг", позволяет с помощью искусственного горизонта очень точно вычислить направление на север. Если построить горизонтальную прямую и наблюдать из одной точки, где звезда пересечет эту прямую снизу вверх, а потом сверху вниз, то середина этого отрезка будет точно на сервере. Таким способом были ориентирован Стоунхендж, не говоря уже о древнеегипетских постройках. Заметим, что только таким способом - наблюдением звезд - можно достичь необходимой точности.

Гораздо более наглядной иллюстрацией того, что "все состоит из точек", является фотометрический парадокс. Вот его сокращенная формулировка:
B бесконечной Вселенной, всё пространство которой заполнено звёздами, всякий луч зрения должен оканчиваться на звезде, аналогично тому, как в густом лесу мы обнаруживаем себя окружёнными «стеной» из удалённых деревьев. [...] Когда мы смотрим в какую-то точку неба, мы видим звезду с той же поверхностной яркостью, что и Солнце; поверхностная яркость соседней точки должна быть такой же, и вообще во всех точках неба поверхностная яркость должна быть равна поверхностной яркости Солнца, поскольку в любой точке небосвода должна находиться какая-нибудь звезда. Следовательно, всё небо (не только ночью, но и днём) должно быть таким же ярким, как и поверхность Солнца.

Мы не будем рассматривать здесь решение фотометрического парадокса - в википедии вполне внятно оно описано. Нам важно отметить основное следствие из понятия математической точки - "все состоит из точек и этот факт является основополагающим". Если мы хотим понять, как могла бы выглядеть математика (философская основа естествознания) "без точек".

История науки знает пример такой теории - это оптика Гёте. Наиболее показательно, как именно он пришел к своей оптике - вот как он описывает это сам (цитируется по К.А. Свасьян "Гёте", М: Мысль, 1989):
И вот, следуя предписаниям ньютоновской оптики, он устанавливает призму между оконным отверстием и чисто выбеленной стеной, ожидая увидеть на последней цветовой спектр. «Я ожидал, помня ньютоновскую теорию, увидеть всю белую стену окрашенной по различным ступеням, и что свет, возвращающийся от нее в глаз, будет расщеплен на столько же цветовых оттенков. Каково же было мое удивление, когда рассматриваемая сквозь призму белая стена осталась, как и прежде, белой, и лишь там, где она граничила с чем-то темным, показывался более или менее явный цвет, так что в конце концов ярче всего выглядел оконный переплет, тогда как на светло-сером небе не было видно ни следа окраски. Без долгих размышлений я понял, что для возникновения цвета необходима граница, и словно бы инстинктивно я тотчас же высказался вслух, что учение Ньютона ложно».

Выделим еще раз: "возникновения цвета необходима граница". Это совершенно иное рассмотрение света - если Ньютон может рассматривать свет как состоящий из тонких лучиков, т.е. из параллельных или исходящих из одной точки прямых, что в пересечении с плоскостью (экраном) эквивалентно тому, что изображение состоит из точек; в этом смысле граница это случайное положение, любая точка могла бы оказаться на границе в той или иной ситуации. Для Гёте же граница это нечто выделенное, по сути своей отличающиеся от внутренности. Тут Гёте переносит на оптику свои биологические интуиции - покровная ткань организма существенно отличается от его внутренних тканей (полагаю, огурцы в салат вы чистите? вот, я об этом). При таком взгляде цветовое пятно является чем-то цельным, первичным объектом, никак не множеством точек. Это взгляд не науки (в современном понимании), а скорее искусства. Как писал Свасьян о Гёте,
Ища объяснения великим творениям искусства, он учился видеть сокровенное родство между ними и природой; природа была ему пробным камне во всем; он, может быть, оттого и считал себя рожденным для эстетического, что из всех форм человеческих деяний одно лишь искусство, в наивысших своих образцах, казалось ему до конца хранящим верность природе. В искусстве он видел продолжение природы другими, более высокими средствами и стремился распознать особенности этого перехода.

Итак, "безточечная геометрия" существует и известна - это живопись, искусство. Оно включает в себя возможность теории. Как говорил Гёте,
Ибо один лишь взгляд на вещь не может продвинуть нас вперед. Всякое смотрение переходит в наблюдение, всякое наблюдение — в размышление, всякое размышление — в связывание, и поэтому можно сказать, что при каждом внимательном взгляде на мир мы уже теоретизируем.

Это теоретизирование открывает свои законы. В отличие от физических законов, не зависящих от человека, эти законы включают в себя человека в с необходимостью - теоретическое искусство является анаксагоровской наукой, для него основной отправной точкой является "человек - мера всех вещей". То есть теория живописи исходит из оптики глаза (вполне геометрические законы перспективы и парадоксальные законы обратной перспективы) и, что более интересно, из цветовосприятия глаза. Вот, например, законы тени Йоханнеса Иттена (из статьи «Мартышка и цветовой круг»):
При естественном освещении предмет отбрасывает на ахроматический (черный, белый или серый) фон тень дополнительного к нему света: красный — зеленую, желтый — фиолетовую, синий — оранжевую. Найти подходящую тень для объекта с более сложным цветом поможет цветовой круг — смотрите, что находится в круге напротив цвета объекта.
Белый предмет отбрасывает зеленую тень.
При наличии дневного света цветной свет, направленный на белый предмет, так же отбрасывает тень дополнительного к нему света, например, свет от зеленой лампы — красную, а от фиолетовой — желтую.
Два исключения: свет красно-оранжевой или сине-зеленой лампы отбрасывает черную тень.

Обращаю внимание на два последних исключения - нарушение симметрии теней цветового круга говорит о том, что сам цветовой круг это идеализация, дань простым умственным конструкциям. То, что красиво с точки зрения ума, не обязательно соответствует реальности. В качестве примера стоит вспомнить Сёра и его пуантилизм.

Пуантилизм был теоретически основан на знании как оптики, так и физиологии глаза. Что собой представляет пуантилистская картина - фактически это отражение сетчатки глаза на холст: светочувствительные колбочки воспринимают каждая только один основной цвет, так что все, что мы видим, состоит из окрашенных точек. Сёра решил воспроизвести сам способ нашего вИдения на холсте. Использовал он и цветовой круг с его теорией (Анри Перрюшо «Жизнь Сёра»):
Он наносил на холст точечные мазки чистых красок, каждый из которых передавал один из компонентов видимого цвета предметов. На его палитре расположились одиннадцать цветов: три основных (синий, красный и желтый), три дополнительных (зеленый, фиолетовый и оранжевый) и пять промежуточных (желто-зеленый, зелено-синий, сине-фиолетовый, фиолетово-красный и красно-оранжевый). Смешивание этих красок с белилами в разных пропорциях позволяло ему получать нужные оттенки каждой из них. Кроме того, следуя указаниям, почерпнутым в книгах Шеврёля и Руда, он сделал хроматический круг, при помощи которого быстро находил дополнительные цвета оттенков к различным тонам.

Картины Сёра, если смотреть на них въяве, производят необычное впечатление, однако как течение живописи пуантилизм оказался тупиковым. Его бедой оказалась сама его теоретичность, уклон этой теоретичности в простые модели. Выше я сказал, что картины Сёра являются отображением сетчатки на холст - а возможно ли такое отображение? Если представить, что человек смотрит одним неподвижным глазом - тогда да, можно рассматривать такое отображение. Но если учесть саккады - микродвижения, которые постоянно совершает глаз, то становится ясно, что воспринимаемая нами картинка не является состоящей из цветных точек разной яркости (одномоментное состояние сетчатки), а организована куда сложнее и является неким усреднением по времени - за счет движения глаза луч из одной точки объекта попадает на разные колбочки глазного дна, так что для восстановления картинки глазу/мозгу надо учитывать не только сигналы от сетчатки, но и направление взгляда в каждый момент. Это уже совершенно не похоже на картинку, состоящую из окрашенных точек.

......................................

Вышеизложенное не отвечает, разумеется, на поставленный в начале статьи вопрос - "как могла бы выглядеть математика без точек?". Я не уверен, что даже сама идея "звезды = точки" верна в том смысле, что без звезд не возникла бы идея точки - уж очень это понятие удобно для теоретизирующего естествознания. Несомненно только одно - звездное небо над головой сделало человека таким, каков он есть.
Tags: Наблюдения краем глаза
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

  • 9 comments